Il Signor Doppler ragionò più o meno così:

Se un diapason emette un LA alla frequenza di 440 Hz (Herz, vibrazioni al secondo), al microfono arrivano 440 vibrazioni al secondo.

Questo se il diapason sta fermo, ma se si muove, le cose cambiano.

Primo caso, allontanamento: un diapason parte dal microfono alla velocità di v metri al secondo, contemporaneamente inizia a emettere un suono a f Hz e dopo t secondi smette. Al microfono la prima onda arriva subito e continuano ad arrivare onde fino a quando arriva l'ultima. Sono arrivate f x t onde, e ci hanno messo t secondi più il tempo che ha impiegato l'ultima ad arrivare
(v x t / v_s). (v_s è la velocità del suono)

Secondo caso, avvicinamento: un diapason, a v x t metri di distanza dal microfono, mentre va alla velocità di v metri al secondo, inizia a emettere un suono a f Hz per t secondi. Il microfono prima aspetta che arrivi la prima onda, poi arrivano onde fino a quando il diapason arriva al microfono. Sono arrivate f x t onde, e ci hanno messo t secondi meno il tempo che ha impiegato la prima onda per arrivare
(v x t / v_s).

Nel primo caso il microfono sente una frequenza pari a
(f x t) / (t + (v x t / v_s)).

Nel secondo caso il microfono sente una frequenza pari a
(f x t) / (t - (v x t / v_s)).

L'intervallo i che separa una nota dall'altra è uguale al rapporto fra le due frequenze, cioè:

                           f  t

               ---------------------

                              v t

                      t + -------

                               v_s

i = -----------------------------------

                         f  t

               ---------------------

                            v t

                      t - -------

                             v_s

cioè, tenendo conto che il numero di Mach (da ex colonnello dell'aeronautica non ho resistito alla tentazione) è uguale al rapporto fra la velocità dell'oggetto e la velocità del suono, vale a dire 
M = v / v_s ,

                   f  t                   t + t M

i =  ---------------------  -----------------------

                 t - t M                  f  t

cioè

               t + t M             t (1 + M)

i =  --------------------  = ----------------

               t - t M              t (1 - M)

vale a dire

           1 + M

i =  ---------------  cioè  i (1 - M) = 1 + M

           1 - M

quindi i - iM = 1 + M

cioè  M(i+1) = i - 1

e quindi

                        i - 1

quindi   M = ------------

                        i + 1

                               i - 1

e infine v =  v_s  --------------

                               i + 1